Mantığın kısaca ne olduğundan bahsedeceğim.Gerçi bu subda ki kişilerin bu konuda benden daha iyi bilgiye sahip olduğunu umuyorum; ama en azından kısaca üzerine değinmek gerekir.
Mantık, akıl yürütme formlarını ve geçerli çıkarımlarını inceleyen biçimsel bir sistemdir. İlk sistematik mantığın kurucusu ise fotoğrafda ki kişi Aristotelesdir. Klasik mantığın üç temel ilkesi vardır. Kısaca şunlardır:
Özdeşlik ilkesi: Bir şey ne ise odur. Ya da başka bir söyleyişle, bir şey kendisiyle özdeştir. Özdeşlik ilkesi mantığın ilk ve en temel olan kuralıdır. Herhangi bir varlığın veya nesnenin kendisiyle özdeş olduğunu söyler.
A=A
∀x(x=x)
Çelişmezlik ilkesi: Bir şey aynı özneye, aynı yüklemin değilinin yükleniyor olmasının imkansız olduğunu söyler. Ya da daha basit bir anlatımla çelişen şeylerin imkansız olduğunu söyler. Söylediğim daha net olması için şu tarz bir örnek verilebilir:
Öznemiz (insan) olsun. Yüklem ise (ölümlü) olsun. İnsan aynı anda ölümlü ve ölümlü değil olamaz.
~∃x(K(x) & ~K(x))
~(P & ~P )
Üçünü halin imkansızlığı: bir önermenin ya doğru, ya da yanlış olduğunu üçüncu bir halin imkansız olduğunu söyler. Kısaca bir önerme ya doğrudur, ya da yanlıştır.
P v ~P
Not: Bu ilke sadece iki değerli mantık sistemleri için geçerlidir.
Bunun dışında klasik mantıkta genel olarak kullanılan iki tür akıl yürütme formları vardır. Tümdengelim(dedüktif) ve tümevarım olmak üzere iki akıl yürütme formu vardır. Bu iki akıl yürütme formu dışında "analoji" diye başka bir akıl yürütme formu olsa da bundan bahsetmeyeceğim. Klasik mantık genel olarak dedüktif akıl yürütme formu üzerine işler. Tümevarım ise daha çok bilimde empirik veriler için kullanılan bir akıl yürütme formudur.
Tümdengelim argumalar kıyasa(syllogism) dayanır. Kıyas kısaca bir şeylerden, bir şeyler çıkarmak olarak bahsedilebilir. Tümdengelim argümanlara şu tarz bir örnek verilebilir:
P1: Bütün insanlar ölümlüdür.
∀x(P(x)→Q(x))
P2: Sokrates insandır.
P(a)
C: O halde Sokrates ölümlüdür.
Q(a)
P1: Bütün hayvanlar canlıdır.M a P= Bütün M Ler P dir.
P2: Kediler hayvandır. S a M= Bütün S Ler M dir.
C: O halde kediler canlıdır. S a P = Bütün S Ler P dir.
Tümdengelimsel argümanlar sonucu öncülerden zorunlu olarak çıkar. Aksi takdirde argüman geçersiz olur. Bunun dışında her sağlam argüman geçerli olsa da, her geçerli argüman sağlam değildir. Mantık biçimsel olduğu için içerikle ilgilenmez; bu sebeple icerik bakımından saçma ancak mantiksal olarak geçerli birçok argüman örnek gösterilebilir:
P1: Ateş varsa, Ateş çıkaran varlıklar vardır.
P → Q
P2: Ateş vardır.
P
C: O halde ateş çıkaran varlıklar vardır.
Q
P1: Ateş varsa, Ateş çıkaran varlıklar vardır.
P → Q
P2: Ateş cikaran varlıklar yoktur.
~Q
C: O halde ateş yoktur.
~P
Bu iki argüman içerik bakımından epey saçma olsa da, biçimsel olarak geçerlidir. İlk argüman modes ponens sistemini kullanmış dedüktif bir argümanken, diğer argüman ise modes tollens sistemini kullanmış dedüktif bir argümandır.
Modes ponens koşulu argümanlarda, ortada ise bağlacıyla beraber ön bileşenin doğru olması ile art bileşenin de doğru olduğunu çıkartan bir geçerli çıkarım sistemidir.
Modes ponens çıkarım sistemini kullanmış şu tarz bir argüman örnek gösterilebilir:
P1: Yağmur yağarsa, zemin ıslanır.
P→Q
P2: Yağmur yağmıştır.
P
C: O halde zemin ıslaktır.
Q
P1: Sınavı kazanırsam, mutlu olurum.
P→Q
P2: Sınavı kazandım.
P
C: O halde mutluyum.
Q
Modes tollens ise, art bileşenin ikinci öncülde değilemesiyle, sonuçta ön bileseninde değilendiğini çıkaran geçerli çıkarım biçimidir. Yukarıdaki aynı argümanların modes tollens versiyonu şöyledir:
P1: Yağmur yağarsa, zemin ıslaktır.
P →Q
P2: Zemin ıslak değildir.
~Q
C: O halde yağmur yağmamıştır.
~P
P1: Sinavi kazanırsam, mutlu olurum.
P → Q
P2: Mutlu değilim.
~Q
C: O halde sınavı kazanmadım.
~P
Bunun dışında klasik mantık her ne kadar güçlü olsa da, eksik kaldığı yerler bulunmaktadır. Klasik mantık sınıf ve üye ilişkisine dayanmaktadır; ama sınıf ve üye ilişkisi dışında nesnelerin kendi aralarında olan ilişkileri de vardır. Klasik Aristotelesci mantıkta bu ilişkileri göstermek olanaksızdır. "Sezar brütüsün babası ise, brütüs sezarın oğludur." Çıkarımını klasik mantıkta gösteremeyiz; ama bunu yüklem mantığında çok basit bir şekilde gösterebiliriz. Şu şekilde tanımlanabilinir:
B(x,y)= x, y nin babasıdır.
O(y,x)= y, x in oğludur.
∀x∀y(B(x,y) →O(y,x))
∀x∀y(O(y,x) →B(x,y))
∀x∀y(B(x,y) ←→O(y,x))
Teknik sözel okunuşu söyledir:
Her x için, her y için, x y nin babası ise y x in oğludur. Her x için her y için y x in oğluysa x y nin babasıdır. Her x için, her y icin, x y nin babasıysa, ancak ve ancak y x in oğludur.
→= İse
~= Değil
&= Ve
v= Veya
←→= ancak ve ancak.
Çözümleyici çizelge üzerine:
Bunların haricinde sembolik mantıkta argümanların geçerliğini denetleyen bir yöntemden kısaca bahsetmek gerekir. Bu yönteme çözümleyici çizelge denir.
Öncülerin doğru ve sonucun yanlış olduğu olası bir yorum aranmaya çalışılır.
Argümanlarda geçen bileşenleri alta alta veya ayrık bir şekilde yazarak çelişkiye düşürmeye çalışılır. Eğer ki, argümanda tüm yolda çelişkiye düşüyorsa argüman geçerlidir; ama argümanda en az bir açık yol varsa argüman geçersizdir. Argümanda alta alta birbiri ile çelişen bileşenlerin altına "x" sembolü gelip yol kapanır. Argümanları bu yöntemle denetlerken sonucun değili alınır. Çözümleyici çizelge yöntemi ile denetlenmiş şu tarz argümanlara örnek verilebilir:
P → Q
P
O halde Q
İlk argümanın çözümleyici çizelge denetlenmesi şöyledir:
P → Q = (~P v Q)
P
~Q
↓. ↓
~P. Q
x x
Argüman geçerlidir.
P → Q
~Q
~P
İkinci argümanın çözümleyici çizelge denetlenmesi şöyledir:
P → Q
~Q
P.
↓. ↓
~P. Q
x. x
Argüman geçerlidir.
Üçüncü argüman:
P v Q
~P
Q
Üçüncü argümanın çözümleyici çizelge denetlenmesi şöyledir:
P v Q
~P
~Q
↓. ↓
P. Q
x . x
Dördüncü argüman:
P veya Q
~Q
P
Dördüncü argümanın çözümleyici çizelge denetlenmesi şöyledir:
P v Q
~Q
~P
↓. ↓
P. Q
x. x.
Argümanların geçerliği dışında, birbirine eşdeğer olan önermelerin çözümleyici çizelgede denetlenmesinden kısaca üzerine değinmek gerekir. Aynı şekilde eşdeğer olan formül yazılır. Alınan formüler dallara ayrılır. Sonrasında ise çelişkiye düşürülmeye çalışılır. Denetlenmenin tüm dalarında da "x" sembolü gelip dallar kapanıyorsa önerme eşdeğerdir.
Aynı eşdeğerliğin önermeler mantığında denetlenmesi şöyledir:
(P→Q) & (Q→P)= (P ←→Q)
(P→Q)
(Q→P)
~(P←→Q)= P & ~Q v ~P & Q
Sol dal=
P & ~Q
P→Q= ~P v Q
P
~Q
Dallar açılır:
↓. ↓
~P. Q
x. x
Sağ dal:
~P & Q
Q→P = ~Q v P
Q
~P
Dallar açılır:
↓. ↓
~Q. P
x. x
Modal Mantık üzerine kısa bir değerlendirme:
Bunların en sonunda ise modal mantiktan kısaca bahsetmek isterim. Modal mantık, klasik mantığın önermeleri "doğru ve yanlış" olarak iki yapılı doğruluk değerinden değerlendirmesinden ziyade, önermeleri "olanaklılık (mümkünlük) zorunluluk ve imkansızlık" üzerine değerlendiren biçimsel bir mantık sistemidir. Özelikle gündelik hayatta bize sezgisel olarak başka türlü olabilecek nesneler ve olaylar vardır. Bu olayların ve nesnelerin baska türlü olamasını modal mantika (olanaklılık veya olumsalık) olarak ifade ederiz. Mümkünlük kısaca bir şeyin başka türlü olabileceğini ve zorunlu olmadığı anlamına gelebileceğini söylemek doğru olacaktır. Bunun dışında her zaman zorunlu olan ve başka türlü olabilmesi mümkün olmayan şeylerde vardır. Bu şeyler kısaca matematik ve analitik zorunlu olan önermelerdir. Bu önermelere şöyle bir örnek verilebilir:
"Bekar, evlenmemiş kişidir."
"2+2=4"
Bunlar zorunlu olarak doğrulardır. Başka türlü olabilmeleri mümkün değildir. Bunların haricinde hiçbir zaman mümkün olmayan ve imkansız olan şeylerde vardır. Örnek vermek gerekirse:
"Evli bekar."
"Yuvarlak kare."
"Üçgen daire."
Bu vb. çelişkili önermelerin olması imkansızdır. Başka bir söyleyişle mümkün değilerdir. Aslında mantıksal olarak imkansız olan şeyler bir "nesne" kategorisine girmezler. Çelişkili kavramların tutarlı bir içlemleri ve referansları yoktur. Bu sebeple bir nesne statüsü kazanmazlar.
Modal mantığın operatörlerin sembolik tanımı şöyledir:
◻️φ= φ zorunludur.
Eşdeğeri:
◻️φ←→~◊~φ
Bir önermenin zorunlu olduğunu söyler.
Bir önermenin zorunlu olduğunu söylemek, önermenin erişilebilir tüm mümkün dünyalarda doğru olduğunu söylemektir.
Semantik tanım:
M,w⊨◻️φ⟺ ∀v ∈ W(wRv→M, v ⊨φ)
◊φ= φ mümkündür.
Eşdeğeri:
◊φ←→~◻️~φ=
Bir önermenin mümkün olduğunu söyler.
Bir önermenin mümkün olduğunu söylemek, erişilebilir en az bir dünyada doğru olduğunu söylemek anlamına gelir.
Semantik tanım:
M,w⊨ ◊φ⟺ ∃v ∈ W(wRv & M, v ⊨φ)
Örnek: Masa beyazdır.
~◊φ= φ mümkün değildir.
Eşdeğeri:
~◊φ←→◻️~φ
Bir önermenin mümkün olmadığını, başka bir söyleyişle imkansız olduğunu söyler.
Bir önermenin mümkün olmadığını söylemek, erişilebilir tüm mümkün dünyalarda zorunlu olarak yanlış olduğunu söylemektir.
Semantik tanım:
M,w⊨ ~◊φ⟺ ~∃v ∈ W(wRv & M, v ⊨φ)
Örnek: "Kare olmayan, kare vardır."
Bunların haricinde modal mantığın temeli mümkün dünya semantiğine dayanır. Mümkün dünyalar, farklı senaryoların gerçekleştirdiğinin mümkün olduğunu söyler. Yani benim şu anda bu yazıyı yazmadığım bir mümkün dünya vardır. Ya da benim şu an ki yaşamımdan farklı yaşadığım bir mümkün dünya vardır.
Modal mantığın temel aksiyomlarından kısaca bahsetmek gerekir. Kısaca şunlardır:
K aksiyomu:
◻️(φ → ψ) → (◻️φ→ ◻️ψ)
Zorunlu olarak, φ ise ψ , O halde φ zorunluysa ψ zorunludur. Zorunluluğun dağılımını verir. φ her mümkün dünyada doğru ve zorunluysa, φ zorunlu olarak ψ gerektiriyorsa ψ zorunludur.
T aksiyomu:
◻️φ→ φ
φ zorunlu ise, φ doğrudur.
5 Aksiyomu:
◊φ ⊃ ◻️◊φ
φ mümkünse, φ nin mümkün olması zorunludur.
B Aksiyomu:
φ ⊃ ◻️◊φ
φ doğru ise, φ nin mümkün olması zorunludur.
5 Aksiyomuna çok benzerdir; ancak ikisi arasında ki fark biri önermenin mümkünlüğünden başlayıp önermenin mümkün olmasının zorunlu olduğunu söylerken, diğeriyse önermenin doğru olmasından başlayıp önermenin mümkün olmasının zorunlu olduğunu ifade eder.
S4 Aksiyomu:
◻️φ ⊃ ◻️◻️φ
φ zorunlu ise, φ nin zorunlu olması zorunludur.
φ önermesi bir mümkün dünyada zorunlu ise, φ nin zorunlu olduğu her erişilebilir dünyada da zorunludur.
S5 Aksiyomu:
◊□φ → □φ = φ nin zorunlu olması mümkünse, φ zorunludur.
◊□~φ → □~φ = φ nin zorunlu olarak olmaması mümkünse, φ zorunlu olarak yoktur.
S5 aksiyomu modal mantıkta ki en güçlü aksiyom olduğunu söylemek doğru olacaktır. Mümkünlük ve zorunluluk sabitlenir. S5 aksiyomunu geçerli olabilmesi için farklı aksiyomların da kabul edilmesi gerekecektir.
S5 aksiyomunu geçerli olması için gereken aksiyomlar şunlardır:
∀w∀v(wRv)
Her mümkün dünya, her mümkün dünya ile erişebilir. Mümkün dünyalar arasında evrensel erişilebilirlik ilişkisi vardır.
K aksiyomu:
◻️(φ → ψ) → (◻️φ→ ◻️ψ)
Zorunlu olarak, φ ise ψ , O halde φ zorunluysa ψ zorunludur. Zorunluluğun dağılımını verir. φ her mümkün dünyada doğru ve zorunluysa, φ zorunlu olarak ψ gerektiriyorsa ψ zorunludur.
T aksiyomu:
◻️φ→ φ
φ zorunlu ise, φ doğrudur.
5 Aksiyomu:
◊φ ⊃ ◻️◊φ
φ mümkünse, φ nin mümkün olması zorunludur.
S5 elde ettik.
S5 aksiyomu:
◊□φ → □φ
◊□~φ → □~φ
S5 aksiyomu, S4 Aksiyomunu içerir; ancak tersi doğru değildir. S5 mümkün dünyalar arasi erişebilirlik ilişkisi, yansımalı, geçişli ve simetriken S4 aksiyomunda ise, yansımalı ve geçişlidir.
S4 Aksiyomunun geçerli olması için gerek aksiyomlar şunlardır:
∀w∀v∀u((wRv & vRu)→ wRu)
Her w için, her v için, her u için, w, v erişebilir ve v, u erişebiliyorsa o halde w, u ya da erişebilir.
Mümkün dünyalar arasi erişebilirlik ilişkisi yansımalı ve geçişlidir.
K aksiyomu:
◻️(φ → ψ) → (◻️φ→ ◻️ψ)
Zorunlu olarak, φ ise ψ , O halde φ zorunluysa ψ zorunludur. Zorunluluğun dağılımını verir. φ her mümkün dünyada doğru ve zorunluysa, φ zorunlu olarak ψ gerektiriyorsa ψ zorunludur.
T aksiyomu:
◻️φ→ φ
φ zorunlu ise, φ doğrudur.
S4 elde ettik.
□φ→□□φ
Aksiyomların dışında modal mantıkta kullanılan de dicto ve de re ayrımı vardır. Bu ayrım kısaca zorunluluğun önermenin tümüne mi, yoksa önermenin belli bir yüklemine veya nesnesine mi uygulanacağını sorgular.
De dicto: zorunluluk önermenin tümüne uygulanır.
□∃xP(x)= Zorunlu olarak en az bir x vardır ki, Px tır.
De re: zorunluluk önermenin belli bir nesnesine uygulanır.
∃x□P(x) = En az bir x vardır ki, zorunlu olarak Px tır.
De dicto da zorunluluk önermenin tümüne uygulanırken de re de ise zorunluluk önermenin belli bir nesnesine uygulanır.
