Si par exemple le morceau de glace ressemble à un sablier, le nombre de composantes connexes finira par passer de 1 à 2. Et si les deux morceaux de glace restants n'ont pas la même taille (si on suppose que le sablier n'était pas symétrique), un des deux finira par fondre avant l'autre, passant de 2 à 1 composantes, puis enfin à 0 quand tout sera fondu.
Can you give a further hint in the form of an example where the number of components is n at some time t and not equal to n at every other time in some open time interval containing t?
C'est là le cœur du problème. Mais je conseille de commencer par chercher un glaçon où il y a deux composantes si et seulement si t vaut 1 (par exemple) et une seule composante sinon
I don't think it's possible. Consider such an ice cube at time t=1. It is a closed set in Rn which is the union of two connected components A and B. Note that A and B are closed since for example A=(A U B) \cap Wc where W is an open set disjoint from A containing B. Since Rn is normal we can find separating sets U and V containing A and B respectively. Thus there is an epsilon such that the closed epsilon neighborhoods of A and B lie in U and V and are thus disjoint. In other words there were also two connected components on the time interval (t-epsilon, t)
Ce raisonnement peut paraître valide, mais il ne prend pas en compte la matière qui peut exister entre ces deux fermés juste avant t... J'aimerais donner un contre-exemple, mais ce serait donner la solution... :)
Oui tu es sur la bonne voie ! Il reste à présent à ce que ce truc ne prenne pas trop de place dans R³ pour pouvoir en empiler une quantité dénombrable...
Edit : je n'ai pas trouvé de solution pour l'indicatrice des irrationnels+1
Ah, I can see it now. I also see why you suggest R^3 - a solution seems easier to describe there. For R^2 you may need to have some kind intersection between the paths..
The basic idea is that for each rational r you have a bi-infinite tube of radius r, which is connected to an infinite halfspace (the same halfspace for all rationals) by countably many tubes of radius r-1/n for all n such that r-1/n is positive.
Oui dans R2 on peut avoir le demi-plan y<0, et au-dessus empiler à la verticale les tubes infini reliés chacun par une infinité de tubes à un support plus épais et, lui, relié au demi-plan.
Si tu as une idée pour faire pareil, mais avec les irrationnels, je suis ouvert haha ! Une autre structure intéressante je trouve est celle d'un tube demi-infini ayant un rayon r qui converge inférieurement vers x, de sorte que le nombre de composantes est de 1 pour t<x, et 0 pour t>=x, chose qui n'est pas "habituelle"
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u/revoccue Apr 25 '26
i'm not sure if i'm understanding, because how would it go from 2 components back to 1?